EVOLUCIÓN DEL CÁLCULO DIFERENCIAL

      COLEGIO  DE  ESTUDIOS  CIENTÍFICOS  Y                                          TECNOLÓGICOS  DEL  ESTADO  DE  OAXACA

                               EMSaD  74  “jaltepec”

ASIGNATURA: CÁLCULO DIFERENCIAL

TEMA:  EVOLUCIÓN DEL CÁLCULO DIFERENCIAL

TRABAJO: BLOG

PARCIAL: I                                        BLOQUE:I

NOMBRE DEL DOCENTE: ING.EDGAR SEGUISMUNDO CRUZ GARCIA

ESTUDIANTE: LUIS ALBERTO SAMPEDRO LORENZO

SEMESTRE: V                                                                   GRUPO: 502

evolución del calculo diferencial

ANTECEDENTES HISTORICOS DEL CALCULO DIFERENCIAL

El calculo diferencial se origino en el siglo XVII al realizar estudios sobre el movimiento; es decir al estudiar  la velocidad de los cuerpos al caer al vacio  ya que cambia de un momento a otro, la velocidad en cada instante debe calcularse teniendo encuentra la distancia que recorre en un tiempo infinitesimalmente y pequeño.Para llegar al origen del calculo  diferencial varios científicos tuvieron que aportar algo, algunos  de ellos mencionaremos enseguida:

Gottfried Leibnz :realizo investigaciones similares  e ideando símbolos matemáticos que se aplican hasta nuestros días

·         descubrió y comenzó a desarrollar el cálculo  diferencial en 1675. Su primera publicación sobre el tema fue en 1684

·         invento  símbolos matemáticos para la derivada y la integral

·         Fue el primero en usar el término “Función” y el uso de símbolo  para la igualdad.

NicolasOresme:establecio que en la proximidad del punto de una curva que la ordenada se considera “máximo y mnimos “, los tangentes y las cuadraturas igualar a cero de la derivada de la función, debido a que la tangente de la curva de los puntos en que la función tiene su máximo o su minimo , la función es paralela al eje “x”  donde la pendiente de la tangente es nula.

Isacc Barrow, por medio del triangulo caracterizo  que la hipotenusa es un arco infinitesimal de curva y su catetos son incrementos infinitesimalen en que difieren las absisas  y las ordenadas de los extremos del arco.

Newton: consibio el método de las fluxiones considerando a la curva como la trayectoria de un punto que fluye ,fuel el primero en descubrir y desarrollar el método de fluxiones entre 1666 y 1669

ž  Desarrolló  su propio método para el cálculo de tangentes.

ž  En 1665 encontró un algoritmo para derivar funciones algebraicas que coincidía con el descubierto con Fermat.

ž  A fines de 1665 se dedicó a reestructurar las bases de su cálculo, intentando desligarse de los infinitesimales, e introdujo el concepto de “Fluxión”, que para él era la velocidad con la que una variable “fluye” con el tiempo.

ž  En 1666 fue el primero en desarrollar métodos matemáticos para resolver problemas de esta índole.

En lo que concierne a las derivadas, existen dos conceptos geométricos que le dieron origen:

*El problema de la tangente a una curva.

*El problema de los extremos (máximos y mínimos.

El Cálculo es la matemática del cambio: velocidades y aceleraciones, rectas tangentes, pendientes, áreas, volúmenes, longitudes de arco, centroides, curvaturas y otros diversos conceptos que han hecho que los científicos, ingenieros y economistas puedan modelar situaciones de la vida real.

Leucipo, Demócrito y Antifon hicieron contribuciones al método exhaustivo griego al que Eudoxo dio una base científica alrededor de 370 a. C. El método se llama exhaustivo ya que considera las áreas medidas como expandiéndolas de tal manera que cubran más y más del área requerida.

Arquímedes construyó una secuencia infinita de triángulos empezando con uno de área A y añadiendo continuamente más triángulos entre los existentes y la parábola para obtener áreas

A, A + A/4, A + A/4 + A/16, A + A/4 + A/16 + A/64, ...

El área del segmento de la parábola es, por lo tanto:

A(1 + 1/4 + 1/4² + 1/4³ + ...) = (4/3)A.

Tanto Torricelli como Barrow estudiaron el problema del movimiento con velocidad variable. La derivada de la distancia es la velocidad y la operación inversa nos lleva de la velocidad a la distancia.El Cálculo constituye una de las grandes conquistas intelectuales de la humanidad, la geometría, el álgebra y la aritmética, la trigonometría, se colocaron en una nueva perspectiva teórica.

Arquímedes usó el método exhaustivo para encontrar la aproximación al área de un círculo. Esto, es un ejemplo temprano de integración que llevó a valores aproximados de π. Entre otras 'integraciones' de Arquímedes estaban el volumen y la superficie de una esfera, el volumen y área de un cono, el área de una elipse, el volumen de cualquier segmento de un paraboloide de revolución y un segmente de un hiperboloide de revolución. Tres matemáticos, nacidos en un periodo de tres años, fueron los siguientes en hacer contribuciones importantes. Eran Fermat, Roberval y Cavalieri. Este último llegó a su 'método de los indivisibles' por los intentos de integración de Kepler.  Cavalieri pensó en un área como formada por componentes que eran líneas y luego sumó su número infinito de 'indivisibles'. Demostró, usando estos métodos, que la integral de xn entre 0 y a era an+1/(n+1) mostrando el resultado para ciertos valores de n e infiriendo el resultado general. Roberval consideró problemas del mismo tipo pero fue mucho más riguroso que Cavalieri. Roberval se fijó en el área entre una curva y una línea como formada por un número infinito de rectángulos infinitamente delgados. Aplicó esto a la integral de xm entre 0 y 1 y demostró que tenía un valor aproximado de

(0m + 1m + 2m +...+ (n-1) m)/nm+1.

Roberval entonces afirmó que esto tendía a 1/(m+1) cuando n tiende a infinito, calculando así el área. Fermat también fue más riguroso en su acercamiento pero no dio demostraciones. Generalizó la parábola y la hipérbola:

Parábola: y/a = (x/b)² generalizada como (x/a)n = (y/b)m.

Hipérbola: y/a = (b/x)² generalizada como (y/a)n = (b/x)m.

Al estar examinando y/a = (x/b)p, Fermat calculó la suma de rppara r entre 1 y n. Fermat también investigó máximos y mínimos considerando dónde la tangente a la curva es paralela al eje X.

Beaune extendió sus métodos y los aplicó a las tangentes; en este caso la doble intesección se traduce en raíces dobles. Hudde descubrió un método más sencillo, llamado la Regla de Hudde, que básicamente involucra a la derivada. El método de Descartes y la Regla de Hudde tuvieron una influencia importante sobre Newton. Huygens criticó las pruebas de Cavalieri diciendo que lo que se necesita es una demostración que al menos convenza de que puede construirse una prueba rigurosa. Huygens tuvo gran influencia sobre Leibniz y por lo tanto jugó un papel importante en la producción de un acercamiento más satisfactorio al cálculo.

Aunque Leibniz fue el primero en publicar un trabajo sobre cálculo, quien primero desarrolló estos temas fue Isaac Newton durante los años 1664 a 1666. Por entonces, Newton era estudiante del Trinity College de Cambridge e inventó lo que él llamó las fluxiones, que no eran otra cosa que un conjunto de reglas con las que también podía calcular máximos, mínimos y tangentes sin que las cantidades fraccionarias o irracionales supusieran ningún obstáculo.

Aunque Leibniz fue el primero en publicar un trabajo sobre cálculo, quien primero desarrolló estos temas fue Isaac Newton durante los años 1664 a 1666. Por entonces, Newton inventó lo que él llamó las fluxiones, que no eran otra cosa que un conjunto de reglas con las que también podía calcular máximos, mínimos y tangentes sin que las cantidades fraccionarias o irracionales supusieran ningún obstáculo.

Actualmente, toda la comunidad científica otorga a ambos el honor de haber descubierto el cálculo. Sin embargo, en la actualidad se siguen las notaciones que usaba Leibniz para simbolizar diferenciales e integrales.

En seguida les mostraremos un ejemplo de como aplicamos el calculo:en polígonos circunscritos

Siglo XX y nuestros días

Es importante el aporte realizado por Lebesgue referido a la integración y a la teoría de la medida y las modificaciones y generalizaciones realizadas por matemáticos que lo sucedieron.

En la Conferencia Internacional de Matemáticos que tuvo lugar en París en 1900, el matemático alemán David Hilbert, quien contribuyó de forma sustancial en casi todas las ramas de la matemática retomó veintitrés problemas matemáticos que él creía podrían ser las metas de la investigación matemática del siglo que recién comenzaba.

El avance originado por la invención del ordenador o computadora digital programable dio un gran impulso a ciertas ramas de la matemática, como el análisis numérico y las matemáticas finitas, y generó nuevas áreas de investigación matemática como el estudio de los algoritmos. Se convirtió en una poderosa herramienta en campos tan diversos como la teoría de números, las ecuaciones diferenciales y el álgebra abstracta. Además, el ordenador permitió encontrar la solución a varios problemas matemáticos que no se habían podido resolver anteriormente.

                                                     Conclusiones

Concepciones filosóficas sobre la realidad, el papel de la ciencia, y en especial las concepciones sobre las características que debe reunir el conocimiento matemático para ser considerado como conocimiento científico, determinaron los enfoques realizados en cada época. El impacto que tuvieron los personajes y las contribuciones consignadas en la historia difícilmente puede ser comprendida cabalmente si estas consideraciones no se toman en cuenta.

Por eso es muy importante tener en cuenta todas estas aportaciones ya que sin ellas tal vez en nuestros días aun no existiria el calculo diferencial es por eso que tenemos que valorarlo y apreciarlo.

PERSONAJES 

Zenón de Elea, planteó una serie de problemas que estaban basados en el infinito. Por ejemplo, argumentó que el movimiento es imposible:

Si un cuerpo se mueve de A a B entonces, antes de llegar a B pasa por el punto medio, B1, de AB. Ahora bien, para llegar a B1 debe primero pasar por el punto medio B2 de AB1. Continuando con este argumento se puede ver que A debe moverse a través de un número infinito de distancias y por lo tanto no puede moverse.

Leucippo, Demócrito y Antifon,hicieron contribuciones al método exhaustivo griego al que Eudoxo dio una base científica alrededor de 370 a. C. El método se llama exhaustivo ya que considera las áreas medidas como expandiéndolas de tal manera que cubran más y más del área requerida

 

Arquímedes, hizo uno de las contribuciones griegas más significativas. Su primer avance importante fue demostrar que el área de un segmento de parábola es 4/3 del área del triángulo con los mismos base y vértice y es igual a 2/3 del área del paralelogramo circunscrito. Arquímedes construyó una secuencia infinita de triángulos empezando con uno de área A y añadiendo continuamente más triángulos entre los existentes y la parábola para obtener áreas

A, A + A/4, A + A/4 + A/16, A + A/4 + A/16 + A/64, ...

El área del segmento de la parábola es, por lo tanto:

A(1 + 1/4 + 1/4² + 1/4³ + ...) = (4/3)A.

Este es el primer ejemplo conocido de suma de una serie infinita. Arquímedes usó el método exhaustivo para encontrar la aproximación al área de un círculo. Esto, por supuesto, es un ejemplo temprano de integración que llevó a valores aproximados de π.

 

Johannes Kepler, en su trabajo sobre movimientos planetarios, tenía que encontrar el área de sectores de una elipse. Su método consistía en pensar en las áreas como sumas de líneas, pero Kepler tenía poco tiempo para el rigor griego y más bien tuvo suerte de obtener la respuesta correcta ya que cometió dos errores que se cancelaron uno al otro en su trabajo.

Fermat, Roberval y Cavalieri, Este último llegó a su 'método de los indivisibles'. No fue riguroso en su acercamiento y es difícil ver con claridad cómo se le ocurrió su método. Al parecer Cavalieri pensó en un área como formada por componentes que eran líneas y luego sumó su número infinito de 'indivisibles'. Demostró, usando estos métodos, que la integral de xn entre 0 y a era an+1/(n+1) mostrando el resultado para ciertos valores de n e infiriendo el resultado general.

Gilles de Roberval, consideró problemas del mismo tipo pero fue mucho más riguroso que Cavalieri. Roberval se fijó en el área entre una curva y una línea como formada por un número infinito de rectángulos infinitamente delgados. Aplicó esto a la integral de xm entre 0 y 1 y demostró que tenía un valor aproximado de

(0m + 1m + 2m +...+ (n-1) m)/nm+1.

Roberval entonces afirmó que esto tendía a 1/(m+1) cuando n tiende a infinito, calculando así el área.

Isaac Newton, escribió un tratado sobre fluxiones en octubre de 1666. Esta obra no sería publicada en ese momento pero fue revisada por muchos matemáticos y tuvo gran influencia sobre la dirección que tomaría el cálculo. Newton pensó en una partícula que dibuja una curva con dos líneas que se mueven que eran las coordenadas. La velocidad horizontal x' y la velocidad vertical y' eran las fluxiones de x y y asociadas con el flujo del tiempo. Los fluentes o cantidades flotanteseran x y y mismas. Con esta notación de fluxión, y' / x' era la tangente a ƒ( x,y) = 0.
En su tratado de 1666, Newton discute el problema inverso: encontrar y dada la relación entre x y y'/x'. Por lo tanto la pendiente de la tangente estaba dada para cada x y cuando y'/x' = ƒ(x) entonces Newton resuelve el problema mediante la antidiferenciación. También calculó áreas mediante este método y su obra contiene el primer enunciado claro del Teorema Fundamental del Cálculo.
Newton tuvo problemas para publicar su obra matemática. Barrow tuvo algo de culpa ya que el editor de la obra de Barrow había quebrado y después de esto ¡otros tenían temor de publicar obras matemáticas! La obra de Newton sobreAnálisis con series infinitas fue escrita en 1669 y circuló como manuscrito. No fue publicada sino hasta 1711. Se modo similar, su Método de fluxiones y series infinitas fue escrito en 1671 y publicado en inglés en 1736. El original en latín fue publicado mucho después.
En estas dos obras, Newton calculó la expansión en serie de sen x y cos x y la expansión de lo que en realidad es la función exponencial pero ésta función no quedaría establecida como tal hasta que Euler introdujo la notación actual ex.
Aquí se pueden ver la Newton fue el Tractatus de Quadrarura Curvarum que escribió en 1693 pero no fue publicado hasta 1704 cuando la publicó como un apéndice de su Optiks. Su trabajo contiene otro acercamiento que involucra el cálculo de límites. Newton dice:

En el tiempo en que x al fluir se convierte en x + o, la cantidad xn se convierte en (x + o)n, es decir, por el método de series infinitas,
xn + noxn-1 + (nn - n)/2 ooxn-2 + ...

Al final deja que el incremento o desaparezca 'tomando límites'.

 

Gottfried Leibniz, aprendió mucho en un viaje por Europa en el que conoció a Huygens en París en 1672. También conoció a Hooke y a Boyle en Londres en 1673 donde compró varios libros de matemáticas, incluyendo las obras de Barrow.Leibniz sostendría una larga correspondencia con Barrow. Al volver a París, Leibniz realizó un trabajo buenísimo sobre el cálculo, pensando en los fundamentos de manera muy distinta a Newton. Newton consideraba que las variables cambiaban con el tiempo. Leibniz pensaba que las variables x, y variaban sobre secuencias de valores infinitamente cercanos. Introdujo a dx y dy como las diferencias entre valores consecutivos de esas secuencias. Leibniz sabía que dx/dy da la tangente pero no la usó como una propiedad que defina.
Para Newton, la integración consistía en encontrar flujos para una fluxión dada así que se implica el hecho de que la integración y la diferenciación son inversas. Leibniz usaba la integral como una suma, de forma muy similar a la de Cavalieri. También estaba contento con el uso de las 'infinitesimales' dx y dy mientras que Newton usaba x' y y' que eran velocidades finitas. Por supuesto que niLeibniz ni Newton pensaban en términos de funciones, pero ambos pensaban siempre en términos de gráficas. Para Newton, el cálculo era geométrico mientras que Leibniz lo llevó hacia el análisis.
Leibniz estaba bien consciente de que encontrar una buena notación era sumamente importante y pensó en ella mucho tiempo. Newton, por otro lado, escribió más bien para él mismo y, como consecuencia, tendía a usar cualquier notación que se lo ocurriera ese día. La notación d y ∫ deLeibniz destacaban el aspecto de operadores que probaría ser importante más adelante. Para 1675,Leibniz se había quedado con la notación

∫y dy = y²/2

Escrita exactamente como se hace hoy. Sus resultados sobre cálculo integral fueron publicados en 1864 y 1686 con 

 

Jacobo y Johann Bernoulli. El término 'cálculo integral' fue sugerido por Jacobo Bernoulli en 1690.
Después de Newton y Leibniz, el desarrollo del cálculo fue continuado por Jacobo Bernoulli y Johann Bernoulli. Sin embargo, cuando Berkeley publicó su Analyst en 1734 atacando la falta de rigor en el cálculo y disputando la lógica sobre la que se basaba, entonces se hicieron grandes esfuerzos para amarrar el razonamiento. Maclaurin intentó poner el cálculo sobre una base geométrica rigurosa pero sus fundamentos realmente satisfactorios tendrían que esperar al trabajo de Cauchy en el siglo XIX.

Colin MacLaurin, En 1742 publicó Treatise of fluxions, donde introduce la llamada serie de Maclaurin, que permite evaluar funciones. También en 1742 halló la fórmula que relaciona la velocidad de rotación de una esfera autogravitante con su achatamiento. Para deducirla consideró el equilibrio hidrostático entre dos columnas de líquido, una polar y otra ecuatorial, que confluyen en el centro de la Tierra. En 1748, se publica Treatise of Algebra. En este tratado usó determinantes para resolver ecuaciones de cuatro incógnitas.

Augustin Louis Cauchy, precisa los conceptos de función, de límite y de continuidaden la forma actual, tomando el concepto de límite como punto de partida del análisis y eliminando de la idea de función toda referencia a una expresión formal, algebraica o no, para fundarla sobre la noción de correspondencia. Los conceptos aritméticos otorgan ahora rigor a los fundamentos del análisis, hasta entonces apoyados en una intuición geométrica que quedará eliminada, en especial cuando más tarde sufre un rudo golpe al demostrarse que hayfunciones continuas sin derivadas, es decir: curvassin tangente. Cauchy consideraba que las funciones en 3 dimensiones que eran derivables eran continuas, sin embargo se descubrió que era necesaria una condición de diferenciabilidad para asegurar la continuidad.